质点A位于坐标原点O处，其气味的浓度函数f(x，y，z)=，质点B位于点(1，1/2，1)处(单位：km)，现质点B总是沿着质点A气味变化最快的方向前进，其速度为1 km／min，求：质点B的运动轨迹方程。

admin2021-04-02 15

问题质点A位于坐标原点O处，其气味的浓度函数f(x，y，z)=

，质点B位于点(1，1/2，1)处(单位：km)，现质点B总是沿着质点A气味变化最快的方向前进，其速度为1 km／min，求：
质点B的运动轨迹方程。

选项

答案气味变化最快的方向即f(x，y，z)的梯度方向，即 [*] 设质点B的运动轨迹方程为[*]则L的切向量(x’_t，y’_t，z’_t)／／grad f，即 [*] 对于[*]，得lnx+lnC₁=[*]，即y=C₁²x²。又当x=1时，y=1/2，故C₁²=1/2，于是[*] 对于[*]，得lnx+lnC₂=lnz，即z=C₂x 又当x=1时，z=1，故C₂=1，于是z=x 综上所述，L为[*]，其中0≤x≤1。

解析

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考研数学一

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质点A位于坐标原点O处，其气味的浓度函数f(x，y，z)=，质点B位于点(1，1/2，1)处(单位：km)，现质点B总是沿着质点A气味变化最快的方向前进，其速度为1 km／min，求：质点B的运动轨迹方程。

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