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  3. 设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

admin2019-09-27  22
问题 设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．
选项
答案A所对应的二次型为f=XTAX， 因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得 f=XTAX[*]λ1y12+λ2y22+…+λnyn2，其中λi＞0(i=1，2，…，n)， 对任意的X≠0，因为X=QY，所以Y=QTX≠0， 于是f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2＞0，即对任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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