设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线yf(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。

admin2018-01-30  48

问题 设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线yf(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。

选项

答案根据旋转体的体积公式, V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx, 而曲边梯形的面积为s=∫1tf(x)dx,则由题意可知V=πts可以得到 V=π∫1Tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx, 因此可得 ∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。 上式两边同时对t求导可得 f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t), 即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx。 继续求导可得 2f(t)f(t)-f(t)一tf(t)=f(t), 化简[2f(t)一t]f(t)=2f(t), 亦即[*]=1, 解这个微分方程得t=[*]。 在f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx中令t=1,则f2(1)一f(1)=0,又f(t)>0,即f(1)=1,将其代入[*]。 因此该曲线方程为 2y+[*]一3x=0。

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FFk4777K
0

最新回复(0)