设A是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，现有下列4个命题： ①线性方程组Ax=b有无穷多个解； ②线性方程组Ax=b有唯一解； ③线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)的行向量组线性无关； ④增广矩阵(A，b)必有4个列向量线性无关．以上命题正确

admin2016-03-01 39

问题设A是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，现有下列4个命题：
①线性方程组Ax=b有无穷多个解；
②线性方程组Ax=b有唯一解；
③线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)的行向量组线性无关；
④增广矩阵(A，b)必有4个列向量线性无关．
以上命题正确的个数有[ ]．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析由A是4×5矩阵，可得增广矩阵(A，b)为4×6矩阵，而r(A)=4，必有r(A，b)=4，即r(A，b)=r(A)=4，线性方程组Ax=b未知量个数是5＞r(A)=4，因此线性方程组Ax=b有无穷多个解，故①正确，②错误．
又矩阵(A，b)的行向量组是矩阵A的行向量组的加长组．由“线性无关组的加长组必线性无关”得③正确．
由r(A，b)=4得矩阵(A，b)有4个列向量线性无关，故④正确．
正确命题有3个，故选(C)．

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