当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n： (Ⅰ) (Ⅱ) (1+tan2x)sinx－1； (Ⅲ) (Ⅳ)∫0xsint.sin(1－cost)2dt．

admin2017-05-31 61

问题当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：
(Ⅰ)

(Ⅱ) (1+tan²x)^sinx－1；
(Ⅲ)

(Ⅳ)∫₀^xsint.sin(1－cost)²dt．

选项

答案(Ⅰ)[*]－1～x⁴－2x²～－2x² (x→0)，即当x→0时[*]－1是x的2阶无穷小，故n=2． (Ⅱ)(1+tan²x)^sinx－1～ln[(1+tan²x)^sinx－1+1] =sinxln(1+tan²x)～sinxtan²x～x.x²=x³ (x→0)，即当x→0时(1+tan²x)^sinx－1是x的3阶无穷小，故n=3． (Ⅲ) 由[*]是x的4阶无穷小，即当x→0时[*]是x的4阶无穷小，故n=4． [*] 即当x→0时∫₀^xsintsin(1－cost)²dt是x的6阶无穷小，故n=6．

解析

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考研数学二

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试求z=f(x，y)=x3+y3-3xy在矩形闭域D={(x，y)｜0≤x≤2，-1≤y≤2)上的最大值与最小值．
[*]应先在xy平面上用阴影标出(X，Y)联合分布密度函数不等于0的部分，同时画出直线x+y=z=常数，根据与阴影部分相交的不同情况分为有关不同z的5种情况，然后进行计算．
证明下列各题：
求下列极限：
当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则
当x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx是等价无穷小，则z=_________.
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ξ)=1．
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