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  3. [2005年] 已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2． 求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)∣x2+y2／4≤1}上的最大值和最小值．

[2005年] 已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2． 求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)∣x2+y2／4≤1}上的最大值和最小值．

admin2019-04-05  49
问题 [2005年]  已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．
求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)∣x2+y2／4≤1}上的最大值和最小值．
选项
答案利用全微分和初始条件先求出f(x，y)的表达式，而f(x，y)在椭圆域上的最大值、最小值可能在区域内或其边界上达到，而后者又可转化为求条件极值． (1)求f(x，y)的表达式．由dz=2x dx一2y dy可知z=f(x，y)=x2一y2+C． 再由f(1，1)=2，得C=2，故z=f(x，y)=x2一y2+2． (2)求f(x，y)在D内的驻点及相应函数值．令[*]=2x=0．[*]=－2y=0，求得D内的唯一驻点(0，0)，且f(0，0)=2． (3)求f(x，y)在D的边界y2=4(1一x2)上的最大值、最小值．将y2=4(1一x2)代入 z=x2一y2+2，得到 z=x2一(4—4x2)+2， 即 z=5x2一2 (一1≤x≤1)． 显然，z(x)在[一1，1]上的最大值为z∣x=±1=3，最小值为z∣x=0=一2． 综上所述，f(x，y)的最大值为max{2，3，一2}=3，最小值为min{2，3，一2)=一2． 解二 同解法一，求得驻点(0，0)．用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆x2+y2／4=1上的极值． 设 L=x2一y2+2+λ(x2+y2／4—1)， 则[*] 由式①、式②、式③解得[*] 即有4个可能的极值点(1，0)，(一1，0)，(0，2)，(0，一2)． 又f(1，0)=f(一1，0)=3，f(0，2)=f(0，一2)=一2，再与f(0，0)=2比较，得f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为一2．
解析
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考研数学二

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