2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1 (其中k1+…+kn-r+1=1)．

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1 (其中k1+…+kn-r+1=1)．

admin2017-07-10  48
问题 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1  (其中k1+…+kn-r+1=1)．
选项
答案设x为Ax=b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn-r+1线性无关且均为Ax=b的解．取ξ1=η2一η1，ξ2=η3一η1，…，ξn-r=ηn-r+1一η1，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次方程Ax=0的解．下面用反证法证：设ξ1，ξ2，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln-r，使得l1ξ1+l1ξ2+…+ln-rξn-r=0，即 l1(η2一η1)+l2(η3一η1)+…+ln-r(ηn-r+1一η1)=0，亦即一(l1+l2+…+ln-r)η1+l1η2+l2η3+…+ln-rηn-r+1=0．由η1，η2，…，ηn-r+1线性无关知一(l1+l2+…+ln-r)=l1=l2=…=ln-r=0，与l1，l2，…，ln-r不全为零矛盾，故假设不成立．因此ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，是Ax=0的一组基．由于x，η1均为Ax=b的解，所以x一η1为Ax=0的解，因此x一η1可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，设X一η1=k2ξ1+k3ξ2+…+kn-r+1ξn-r，=k2(η2一η1)+k3(η3一η1)+…+kn-r+1(ηn-r+1一η1)，则X=η1(1一k2一k3一…一kn-r+1)+k2η2+k3η3+…+kn-r+1ηn-r+1=0，令k1=1一k2一k3一…一kn-r+1，则k1+k2+k3+…+kn-r+1=1，从而X=k1η1+k2η2+…+kn-r+1ηn-r+1恒成立．
解析
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考研数学二

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