已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

admin2017-01-13 41

问题已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，

其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

选项

答案将二重积分[*],转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫₀¹xyf_xy’’(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫₀¹xyf_xy’’(x，y)dx=y∫₀¹xdf_y’(x，y) =xyf_y’(x,y)｜₀¹一∫₀¹yf_y’(x,y)dx =yf_y’(1,y)一∫₀¹yf_y’(x,y)dx。由f(1，y)=f_y’(x，1)=0易知f’(1，y)=f_y’(x，1)=0。所以 ∫₀¹xyf_xy’’(x,y)dx=一∫₀¹yf_y’(x，y)dx。因此 [*] 对该积分交换积分次序可得，一∫₀¹dyyf_y’(x，y)dx=－∫₀¹dx∫₀¹yf_y’(x，y)dy。再考虑积分∫₀¹yf_y’(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫₀¹yf_y’(x，y)dy=∫₀¹ydf(x，y) =yf(x,y)｜₀¹一∫₀¹f(x，y)dy =一∫₀¹f(x)dy，因此 [*] =∫₀¹dx∫₀¹f(x,y)dy [*]。

解析

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考研数学二

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