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  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

admin2017-01-13  56
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
选项
答案将二重积分[*],转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫01xyfxy’’(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫01xyfxy’’(x，y)dx=y∫01xdfy’(x，y) =xyfy’(x,y)｜01一∫01yfy’(x,y)dx =yfy’(1,y)一∫01yfy’(x,y)dx。 由f(1，y)=fy’(x，1)=0易知f’(1，y)=fy’(x，1)=0。所以 ∫01xyfxy’’(x,y)dx=一∫01yfy’(x，y)dx。 因此 [*] 对该积分交换积分次序可得， 一∫01dyyfy’(x，y)dx=－∫01dx∫01yfy’(x，y)dy。 再考虑积分∫01yfy’(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫01yfy’(x，y)dy=∫01ydf(x，y) =yf(x,y)｜01一∫01f(x，y)dy =一∫01f(x)dy， 因此 [*] =∫01dx∫01f(x,y)dy [*]。
解析
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考研数学二

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