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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
admin
2017-01-13
39
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
选项
答案
将二重积分[*],转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫
0
1
xyf
xy
’’(x,y)dx,注意这里把变量y看作常数,故有 ∫
0
1
xyf
xy
’’(x,y)dx=y∫
0
1
xdf
y
’(x,y) =xyf
y
’(x,y)|
0
1
一∫
0
1
yf
y
’(x,y)dx =yf
y
’(1,y)一∫
0
1
yf
y
’(x,y)dx。 由f(1,y)=f
y
’(x,1)=0易知f’(1,y)=f
y
’(x,1)=0。所以 ∫
0
1
xyf
xy
’’(x,y)dx=一∫
0
1
yf
y
’(x,y)dx。 因此 [*] 对该积分交换积分次序可得, 一∫
0
1
dyyf
y
’(x,y)dx=-∫
0
1
dx∫
0
1
yf
y
’(x,y)dy。 再考虑积分∫
0
1
yf
y
’(x,y)dy,注意这里把变量x看作常数,故有 ∫
0
1
yf
y
’(x,y)dy=∫
0
1
ydf(x,y) =yf(x,y)|
0
1
一∫
0
1
f(x,y)dy =一∫
0
1
f(x)dy, 因此 [*] =∫
0
1
dx∫
0
1
f(x,y)dy [*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FRt4777K
0
考研数学二
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