设X和Y相互独立都服从0-1分布：P{X=1}=P(Y=1}=0．6．试证明：U=X+Y，V=X-Y不相关，但是不独立．

admin2016-07-22 29

问题设X和Y相互独立都服从0-1分布：P{X=1}=P(Y=1}=0．6．试证明：U=X+Y，V=X-Y不相关，但是不独立．

选项

答案(1)由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UV)-EUEV=E(X²-Y²)-E(X+Y)E(X-Y)=E(X²)-E(Y²)=0．于是，U=X+Y，V=X-Y不相关． (2)现在证明U-X+Y，V=X-Y不独立．事实上，由 P{U=0)=P{X=0，Y=0)=P{X=0}P{Y=0)=0．16， P{V=0)=P{X=0，Y=0)+P{X=1，Y=1} =P{X=0}P{Y=0)+P{X=1}P{Y=1}=0．52， P{U=0，V=0}=P(X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0} =0．16≠0．16×0．52=P{U=0}P{V=0}，可见U和V不独立．

解析

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