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设f(x)在[a,b]上连续可导,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0, 证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η(η≠
设f(x)在[a,b]上连续可导,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0, 证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η(η≠
admin
2022-06-30
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问题
设f(x)在[a,b]上连续可导,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0,
证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
(2)在(a,b)内至少存在一点η(η≠ξ),使得f"(η)=f(η).
选项
答案
(1)令F(x)= ∫
a
x
f(t)dt,F(a)=F(b)=0, 由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得F’(c)=0,即f(c)=0. 令h(x)=e
-x
f(x),h(a)=h(c)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,c),使得h’(ξ)=0, 由h’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,故f’(ξ)=f(ξ). (2)同理,由h(c)=h(b)=0,则存在ζ∈(c,b),使得f’(ζ)=f(ζ). 令φ(x)=e
x
[f’(x)-f(x)],φ(ξ)=φ(ζ)=0, 由罗尔定理,存在η∈(ξ,ζ)[*](a,b),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=e
x
[f"(x)-f(x)]且e
x
≠0,故f"(η)=f(η).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/G1f4777K
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考研数学二
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