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设四阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=B的通解为(1,2,2,1)T+c(1,﹣2,4,0)T,c为任意常数。记B=(α3,α2,α1,β-α4),求Bx=α1-α2的通解。
设四阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=B的通解为(1,2,2,1)T+c(1,﹣2,4,0)T,c为任意常数。记B=(α3,α2,α1,β-α4),求Bx=α1-α2的通解。
admin
2019-12-06
69
问题
设四阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),方程组Ax=B的通解为(1,2,2,1)
T
+c(1,﹣2,4,0)
T
,c为任意常数。记B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
),求Bx=α
1
-α
2
的通解。
选项
答案
从Ax=β的通解为(1,2,2,1)
T
+c(1,﹣2,4,0)
T
可得到以下信息: ①Ax=0的基础解系包含1个解向量,即4-r(A)=1,得r(A)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3。 ②(1,2,2,1)
T
是Ax=β的特解,即α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β。(1,﹣2,4,0)
T
是Ax=0的解向量,即α
1
-2α
2
+4α
3
=0,则α
1
,α
2
,α
3
线性相关,结合r(A)=3可得r(α
1
,α
2
,α
3
)=2。 显然B((0,﹣1,1,0)
T
=α
1
-α
2
,即(0,﹣1,1,0)
T
是Bx=α
1
-α
2
的一个解。由B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
)=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
),于是r(B)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=2,则其基础解系包含解向量的个数为2个。 α
1
-2α
2
+4α
3
=0说明(4,﹣2,1,0)
T
是Bx=0的解。由B=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
++2α
2
+2α
3
)容易得到B(﹣2,﹣2,﹣1,1)
T
=0,说明(﹣2,﹣2,﹣1,1)
T
也是Bx=0的解。 于是Bx=α
1
-α
2
的通解为(0,﹣1,1,0)
T
+c
1
(4,﹣2,1,0)
T
+c
2
(﹣2,﹣2,﹣1,1)
T
,c
1
,c
2
为任意常数。
解析
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考研数学二
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