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A=,正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵,并且Q的第1列为(1,2,1)T.求a和Q.
A=,正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵,并且Q的第1列为(1,2,1)T.求a和Q.
admin
2017-07-10
61
问题
A=
,正交矩阵Q使得Q
T
AQ是对角矩阵,并且Q的第1列为
(1,2,1)
T
.求a和Q.
选项
答案
Q
-1
AQ=Q
T
AQ是对角矩阵,说明Q的列向量都是A的特征向量,于是(1,2,1)
T
也是A的特征向量. [*] (1,2,1)
T
和(2,5+a,4+2a)
T
相关,得a=-1,并且(1,2,1)
T
的特征值为2. [*] A的特征值为2,5,-4.下面来求它们的单位特征向量. α
1
=[*]是属于2的单位特征向量. [*] 则(1,-1,1)
T
是属于5的特征向量,单位化得α
2
=[*](1,-1,1)
T
. [*] 则(1,0,-1)
T
是属于-4的特征向量,单位化得α
3
=[*](1,0,-1)
T
. 则Q=(α
1
,α
2
,α
3
).(不是唯一解,例如(α
1
,α
3
,α
2
),(α
1
,-α
2
,-α
3
),(α
1
,-α
3
,-α
2
)等也都适合要求.)
解析
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考研数学二
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