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  3. A=，正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．

A=，正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．

admin2017-07-10  53
问题 A=，正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．
选项
答案Q－1AQ=QTAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)T也是A的特征向量． [*] (1，2，1)T和(2，5+a，4+2a)T相关，得a=－1，并且(1，2，1)T的特征值为2． [*] A的特征值为2，5，－4．下面来求它们的单位特征向量． α1=[*]是属于2的单位特征向量． [*] 则(1，－1，1)T是属于5的特征向量，单位化得α2=[*](1，－1，1)T． [*] 则(1，0，－1)T是属于－4的特征向量，单位化得α3=[*](1，0，－1)T． 则Q=(α1，α2，α3)．(不是唯一解，例如(α1，α3，α2)，(α1，－α2，－α3)，(α1，－α3，－α2)等也都适合要求．)
解析
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考研数学二

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