在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式(a>0,b>0,c>0).

admin2016-09-13  35

问题 在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式(a>0,b>0,c>0).

选项

答案作拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=lnx+lny+31nz+λ(x2+y2+z2-5R2), 并令 [*] 由前3式得x2=y2=[*],代入第4式得可疑点(R,R,[*]R),因xyz3在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0,y≥0,x≥0)上必有最大值,且最大值必在x>0,y>0,z>0取得,故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2也有最大值,而(R,R,[*]R)唯一,故最大值为f(R,R,[*]R)=ln(3[*]R5),又lnx+1ny+31nx≤ln(3[*]R5),xyz3≤3[*]R5,故x2y2z6≤27R10. 令x2=a,y2=b,z2=c,又知x2+y2+z2=5R2,则abc3≤27([*])5(a>0,b>0,c>0).

解析
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