2. 考研
  3. 在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0,y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式(a＞0，b＞0,c＞0)．

在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0,y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式(a＞0，b＞0,c＞0)．

admin2016-09-13  76
问题 在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0,y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式(a＞0，b＞0,c＞0)．
选项
答案作拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=lnx+lny+31nz+λ(x2+y2+z2－5R2)， 并令 [*] 由前3式得x2=y2=[*]，代入第4式得可疑点(R，R，[*]R)，因xyz3在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，x≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2也有最大值，而(R，R，[*]R)唯一，故最大值为f(R，R，[*]R)=ln(3[*]R5)，又lnx+1ny+31nx≤ln(3[*]R5)，xyz3≤3[*]R5，故x2y2z6≤27R10． 令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则abc3≤27([*])5(a＞0，b＞0，c＞0)．
解析
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考研数学三

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