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在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式(a>0,b>0,c>0).
在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式(a>0,b>0,c>0).
admin
2016-09-13
49
问题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式
(a>0,b>0,c>0).
选项
答案
作拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=lnx+lny+31nz+λ(x
2
+y
2
+z
2
-5R
2
), 并令 [*] 由前3式得x
2
=y
2
=[*],代入第4式得可疑点(R,R,[*]R),因xyz
3
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0,y≥0,x≥0)上必有最大值,且最大值必在x>0,y>0,z>0取得,故f=lnxyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
也有最大值,而(R,R,[*]R)唯一,故最大值为f(R,R,[*]R)=ln(3[*]R
5
),又lnx+1ny+31nx≤ln(3[*]R
5
),xyz
3
≤3[*]R
5
,故x
2
y
2
z
6
≤27R
10
. 令x
2
=a,y
2
=b,z
2
=c,又知x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
,则abc
3
≤27([*])
5
(a>0,b>0,c>0).
解析
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考研数学三
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