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已知向量β=(a1,a2,a3,a4)T可以由α1=(1,0,0,1)T,α2=(1,1,0,0)T,α3=(0,2,—1,—3)T,α4=(0,0,3,3)T线性表出. (Ⅰ)求a1,a2,a3,a4应满足的条件; (Ⅱ)求向量组α1,α2,α3,α4的
已知向量β=(a1,a2,a3,a4)T可以由α1=(1,0,0,1)T,α2=(1,1,0,0)T,α3=(0,2,—1,—3)T,α4=(0,0,3,3)T线性表出. (Ⅰ)求a1,a2,a3,a4应满足的条件; (Ⅱ)求向量组α1,α2,α3,α4的
admin
2015-04-30
72
问题
已知向量β=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)
T
可以由α
1
=(1,0,0,1)
T
,α
2
=(1,1,0,0)
T
,α
3
=(0,2,—1,—3)
T
,α
4
=(0,0,3,3)
T
线性表出.
(Ⅰ)求a
1
,a
2
,a
3
,a
4
应满足的条件;
(Ⅱ)求向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,并把其他向量用该极大线性无关组线性表出;
(Ⅲ)把向量β分别用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
和它的极大线性无关组线性表出.
选项
答案
(Ⅰ)β可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出,即方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β有解.对 增广矩阵作初等行变换,有 [*] ① 所以向量β可以由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出的充分必要条件是:α
1
—α
2
+α
3
—α
4
=0. (Ⅱ)向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的极大线性无关组是:α
1
,α
2
,α
3
,而 α
4
=一6α
1
+6α
2
—3α
3
. ② (Ⅲ)方程组①的通解是: x
1
=a
1
一a
2
+2a
3
—6t,x
2
=a
2
—2a
3
+6t,x
3
=a
3
—3t,x
4
=t,其中t为任意常数,所以β=(α
1
一a
2
+2a
3
—6t)α
1
+(a
2
—2a
3
+6t)α
2
+(a
3
—3t)α
3
+ta
4
,其中t为任意常数. 由②把α
4
代入,得 β=((a
1
一a
2
+2a
3
)α
1
+(a
2
—2a
3
)α
2
+a
3
α
3
.
解析
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考研数学二
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