2. 考研
  3. 已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，—1，—3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出． (Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件； (Ⅱ)求向量组α1，α2，α3，α4的

已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，—1，—3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出． (Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件； (Ⅱ)求向量组α1，α2，α3，α4的

admin2015-04-30  72
问题 已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，—1，—3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．
(Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件；
(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；
(Ⅲ)把向量β分别用α1，α2，α3，α4和它的极大线性无关组线性表出．
选项
答案(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4线性表出，即方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．对 增广矩阵作初等行变换，有 [*] ① 所以向量β可以由α1，α2，α3，α4线性表出的充分必要条件是：α1—α2+α3—α4=0． (Ⅱ)向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组是：α1，α2，α3，而 α4=一6α1+6α2—3α3． ② (Ⅲ)方程组①的通解是： x1=a1一a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=a3—3t，x4=t，其中t为任意常数，所以β=(α1一a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3—3t)α3+ta4，其中t为任意常数． 由②把α4代入，得 β=((a1一a2+2a3)α1+(a2—2a3)α2+a3α3．
解析
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考研数学二

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