已知A相似于B,即存在可逆阵P,使得P—1AP=B.求证:存在可逆阵Q,使得Q—1AQ=B的充分必要条件是存在与A可交换的可逆阵C,使得Q=CP.

admin2017-07-26  34

问题 已知A相似于B,即存在可逆阵P,使得P—1AP=B.求证:存在可逆阵Q,使得Q—1AQ=B的充分必要条件是存在与A可交换的可逆阵C,使得Q=CP.

选项

答案必要性.P—1AP=Q—1AQ=B,Q可逆,则得QP—1A=AQP—1.令QP—1=C,其中C可逆,且有CA=AC. 充分性.已知C可逆,且CA=AC.令Q=CP,则 Q—1AQ=(CP)—1ACP=P—1C—1ACP =P—1C—1CAP=P—1AP=B.

解析
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