设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵 满足AB=0. ①用正交变换化xTAx为标准形,写出所作变换. ②求(A一3E)6.

admin2017-11-23  34

问题 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵

满足AB=0.
①用正交变换化xTAx为标准形,写出所作变换.
②求(A一3E)6

选项

答案[*] ①先作正交矩阵Q,使得Q-1AQ是对角矩阵. 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量,并且特征值都是0.由于B的秩大于1,特征值的重数大于1.于是A的特征值为0,0,6.(tr(A)=6.) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量: 对B的第1,2两个列向量α1=(1,0,1)T,α2=(2,一1,0)T作施密特正交化: η11/||α1||=[*](1,0,1)T,η22/||β2||=[*](1,一1,一1)T. 求属于特征值6的一个单位特征向量:属于特征值6的特征向量与α1,α2都正交, [*] 的非零解,求出α3=(1,2,一1)T 是属于6的一个特征向量,单位化 η33/||α3||=[*](1,2,-1)T. 记Q=(η1,η2,η3,则Q是正交矩阵,Q-1AQ= [*] 作正交变换x=Qy,它xTAx化为标准二次型6y32. ②A的特征值为0,0,6,则A一3E的特征值为一3,一3,3,(A一3E)6的3个特征值都是36. 于是(A一3E)6~36E=>(A一3E)6=36E.

解析
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