设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ①用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ②求(A一3E)6．

admin2017-11-23 65

问题设二次型x^TAx=x₁²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵

满足AB=0．
①用正交变换化x^TAx为标准形，写出所作变换．
②求(A一3E)⁶．

选项

答案[*] ①先作正交矩阵Q，使得Q^-1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α₁=(1，0，1)^T，α₂=(2，一1，0)^T作施密特正交化： η₁=α₁／｜｜α₁｜｜=[*](1，0，1)^T，η₂=β₂／｜｜β₂｜｜=[*](1，一1，一1)^T．求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α₁，α₂都正交， [*] 的非零解，求出α₃=(1，2，一1)^T 是属于6的一个特征向量，单位化 η₃=α₃／｜｜α₃｜｜=[*](1，2，-1)^T．记Q=(η₁，η₂，η₃，则Q是正交矩阵，Q^-1AQ= [*] 作正交变换x=Qy，它x^TAx化为标准二次型6y₃²． ②A的特征值为0，0，6，则A一3E的特征值为一3，一3，3，(A一3E)⁶的3个特征值都是3⁶．于是(A一3E)⁶～3⁶E=>(A一3E)⁶=3⁶E．

解析

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考研数学一

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设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ①用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ②求(A一3E)6．

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如图1．3—1，设曲线方程为梯形QABC的面积为D，曲边梯形OBC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0，证明：

求直线旋转一周所产生的曲面方程．

设A为n阶非奇异矩阵，a是n维列向量，b为常数，计算PQ；

设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，且(i＝1，2，3，4)，求X＝的概率分布．

设一设备在时间长度为t的时间内发生故障的次数N(t)～P(λt)．求设备在无故障工作8小时下，再无故障工作8小时的概率．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2．求矩阵A的特征值；

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

设X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知的数学期望存在，而ε＞0是任意实数，证明：不等式

设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为σ=100，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平α=0．05下，能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600．

设B是秩为2的5×4矩阵，α1=[1，1，2，3]T，α2=[-1，1，4，-1]T，α3=[5，-1，-8，9]T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．

目前，中央政府对地方政府的专项转移支付具体可划分为()。

构成晶体的微观粒子(分子、原子或离子)按一定的几何规则排列，由此形成的最小单元称为()。

烧伤深度识别国内多采用

患者，男，45岁。1小时前描记心电图诊断为心房扑动，心律规则，心率150次/分，给予静注毛花苷C（毛花苷丙）0．4mg。现在心脏听诊心率为75次/分，心律规则。此时心律最可能为

不宜行组织活检术的肿瘤为

患者，男，30岁。大便秘结不通，排便艰涩难解．兼见腹胀腹痛，身热，口干口臭．舌红苔黄。针灸时选

建设单位应当自领取施工许可证之日起()内开工。

甲因售货员多找40元零钱而获利，甲用这40元钱零钱买了一只猫。则甲的获利和买猫的法律事实在性质上属于()。

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