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  3. 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 满足AB=0． ①用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ②求(A一3E)6．

设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 满足AB=0． ①用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ②求(A一3E)6．

admin2017-11-23  46
问题 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵

满足AB=0．
①用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换．
②求(A一3E)6．
选项
答案[*] ①先作正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵． 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量： 对B的第1，2两个列向量α1=(1，0，1)T，α2=(2，一1，0)T作施密特正交化： η1=α1／｜｜α1｜｜=[*](1，0，1)T，η2=β2／｜｜β2｜｜=[*](1，一1，一1)T． 求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α1，α2都正交， [*] 的非零解，求出α3=(1，2，一1)T 是属于6的一个特征向量，单位化 η3=α3／｜｜α3｜｜=[*](1，2，-1)T． 记Q=(η1，η2，η3，则Q是正交矩阵，Q-1AQ= [*] 作正交变换x=Qy，它xTAx化为标准二次型6y32． ②A的特征值为0，0，6，则A一3E的特征值为一3，一3，3，(A一3E)6的3个特征值都是36． 于是(A一3E)6～36E=>(A一3E)6=36E．
解析
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考研数学一

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