设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为(β1，β2，…，βr)＝(α1，α2，…，αs)K其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明：向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)＝r．

admin2020-06-05 49

问题设向量组B：β₁，β₂，…，β_r能由向量组A：α₁，α₂，…，α_s线性表示为(β₁，β₂，…，β_r)＝(α₁，α₂，…，α_s)K其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明：向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)＝r．

选项

答案令B＝(β₁，β₂，…，β_r)，A＝(α₁，α₂，…，α_s)，则有B＝AK．必要性设向量组B线性无关．由向量组B线性无关及矩阵秩的性质，有 r＝R(B)＝R(AK)≤min{R(A)，R(K)}≤R(K)≤min{r，s)≤r 因此R(K)＝r．充分性：方法一因为矩阵R(K)＝r，所以存在可逆矩阵c，使KC＝[*]为K的标准形．于是 (β₁，β₂，…，β_r)C＝(α₁，α₂，…，α_s)KC＝(α₁，α₂，…，α_s) 又因为C可逆，所以R(β₁，β₂，…，β_r)＝R(α₁，α₂，…，α_s)＝s≥R(K)＝r，从而R(β₁，β₂，…，β_r)＝r，因此β₁，β₂，…，β_r线性无关．方法二设矩阵R(K)=r．由于 Bx＝0→AKx＝0→A(Kx)＝0→Kx＝0→x＝0 所以β₁，β₂，…，β_r线性无关．

解析

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设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为(β1，β2，…，βr)＝(α1，α2，…，αs)K其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明：向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)＝r．

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