设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(x)＞0，下面不等式f(a)(b一a)＜∫abf(x)dx＜(b—a)成立的条件是( )

admin2019-07-12 95

问题设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(x)＞0，下面不等式f(a)(b一a)＜∫_a^bf(x)dx＜(b—a)

成立的条件是( )

选项 A、f’(x)＞0，f”(x)＜0．
B、f’(x)＜0，f”(x)＞0．
C、f’(x)＞0，f”(x)＞0．
D、f’(x)＜0，f”(x)＜0．

答案C

解析不等式的几何意义是：矩形面积＜曲边梯形面积＜梯形面积，要使上面不等式成立，需要过点(a,f(a))平行于x轴的直线在曲线y=f(x)的下方，连接点(a,f(a))和点(b,f(b))的直线在曲线y=f(x)的上方，如图2—5所示．
当曲线y=f(x)在[a，b]是单调上升且是凹时有此性质．于是当f’(x)＞0，f"(x)＞0成立时，上述条件成立，故选C．

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考研数学三

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