设齐次线性方程组为正定矩阵，求a，并求当｜X｜I=时XTAX的最大值．

admin2016-10-13 59

问题设齐次线性方程组

为正定矩阵，求a，并求当｜X｜I=

时X^TAX的最大值．

选项

答案因为方程组有非零解，所以[*]=a(a+1)(a一3)=0，即a=一1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以a_ii＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由｜λE—A｜=[*]=(λ一1)(λ一4)(λ一10)=0 得A的特征值为1，4，10．因为A为买对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 f=X^TAX[*]y₁²+4y₂²+10y₃²≤10(y₁²+y₂²+y₃²) 而当｜x｜=[*]时， y₁²+y₂²+y₃²=Y^TY=Y^TQ^TQT=(QY)^T(QY)=X^TX=｜X｜²=2 所以当｜X｜=[*]时，X^TAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y₁=y₂=0，y₃=[*])．

解析

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