(1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

admin2013-12-27 115

问题 (1998年试题，十)已知二次曲面方程x²+ay²+z²+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程η²+4ζ²=4，求a，b的值和正交矩阵P．

选项

答案设二次型为f(x，y，z)=x²+ay²+=z²+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为[*]同时该二次型的标准形为f₁(ξ，η，ζ)=η²+4ζ²，其相应矩阵为[*]由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4也是矩阵A的特征值，由特征值多项式｜A—λE｜=0，有[*]将λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4代入，可解得a=3且b=1．以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P．当λ₁=0，有Ax=0，ξ₁=[*]当λ₂=1，有(A—E)x=0，ξ₂=[*]当λ₃=4，有(A一4I)x=0，ξ₃=[*]从而正交变换矩阵为[*]

解析本题在求参数a，b时，亦可利用条件∑a_ij=∑b_ij和｜A｜=｜B｜来求得.

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考研数学一

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设向量组α1，α2，α3为3维向量空间R3的一个基，令β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=2α1+(k+1)α3．证明向量组β1，β2，β3也是R3的一个基；

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T，p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出．

设y=f(x)是满足微分方程y“-y‘-esinx=0的解，且f’(x0)=0，则f(x)在()

设函数y=y(x)由参数方程确定，求曲线y=y(x)的凹区间。

设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32，A是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，-1]T满足Aα=α，则二次型f(x1，x2，x3)=________．

已知随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)常数a，b的值；(2)。

设，讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．

位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0,2)，在该点处的切线水平，曲线上任意一点(x,y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为,求y=y(x).

某工厂产积木玩具，每生产一套积木玩具的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元．如果每套积木玩具的出厂价为20元，为了不亏本，问该厂每天至少生产多少套这种积木玩具?

某工厂每天分3个班生产，事件Ai表示第i班超额完成生产任务(i＝1，2，3)，则至少有两个班超额完成任务的事件可以表示为()．

Itisquitenecessaryforaqualifiedteachertohavegoodmannersand______(extension)knowledge.

急性腹膜炎最可靠的诊断依据是

丹毒的临床表现是(　　)疖的临床表现是(　　)

主要用于钢筋混凝土结构和预应力钢筋混凝土结构配筋的是()。

某企业去年的销售净利率为5.73%，资产周转率为2.17；今年的销售净利率为4.88%，资产周转率为2.88。若两年的资产负债率相同，今年的权益净利率比去年的变化趋势为(　　)。

运用存货模式确定现金最佳持有量时,其中的转换成本相当于存货管理中的()。

《中华人民共和国教师法》是由国家最高行政机关为提高教师队伍的素质而制定的。()

《劳动合同法》第96条规定：事业单位与实行聘用制的工作人员订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，法律、行政法规或者国务院另有规定的，依照其规定，未作规定的，依照本法有关规定执行。这一规则属于()。

科学发展观的核心是（）。

Thechild’sabnormalbehaviorpuzzledthedoctor.

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设，讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．

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设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32，A是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，-1]T满足Aα=α，则二次型f(x1，x2，x3)=________．

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某企业去年的销售净利率为5.73%，资产周转率为2.17；今年的销售净利率为4.88%，资产周转率为2.88。若两年的资产负债率相同，今年的权益净利率比去年的变化趋势为(　　)。