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  3. (1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

(1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

admin2013-12-27  69
问题 (1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．
选项
答案设二次型为f(x，y，z)=x2+ay2+=z2+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为[*]同时该二次型的标准形为f1(ξ，η，ζ)=η2+4ζ2，其相应矩阵为[*]由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此λ1=0，λ2=1，λ3=4也是矩阵A的特征值，由特征值多项式｜A—λE｜=0，有[*]将λ1=0，λ2=1，λ3=4代入，可解得a=3且b=1．以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P．当λ1=0，有Ax=0，ξ1=[*]当λ2=1，有(A—E)x=0，ξ2=[*]当λ3=4，有(A一4I)x=0，ξ3=[*]从而正交变换矩阵为[*]
解析 本题在求参数a，b时，亦可利用条件∑aij=∑bij和｜A｜=｜B｜来求得.
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考研数学一

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