(1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

admin2013-12-27 113

问题 (1998年试题，十)已知二次曲面方程x²+ay²+z²+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程η²+4ζ²=4，求a，b的值和正交矩阵P．

选项

答案设二次型为f(x，y，z)=x²+ay²+=z²+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为[*]同时该二次型的标准形为f₁(ξ，η，ζ)=η²+4ζ²，其相应矩阵为[*]由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4也是矩阵A的特征值，由特征值多项式｜A—λE｜=0，有[*]将λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4代入，可解得a=3且b=1．以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P．当λ₁=0，有Ax=0，ξ₁=[*]当λ₂=1，有(A—E)x=0，ξ₂=[*]当λ₃=4，有(A一4I)x=0，ξ₃=[*]从而正交变换矩阵为[*]

解析本题在求参数a，b时，亦可利用条件∑a_ij=∑b_ij和｜A｜=｜B｜来求得.

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考研数学一

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(1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

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设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T，p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出．

设函数f(x)在[0，a]上可导，且f(0)=0，f’(x)单调增加，证明：

设sinx/x是f(x)的一个原函数，，则f”(T)=______________．

设非齐次线性方程组Ax=β的通解为x=k1(1，0，0，1)T+k2(2，1，0，1)T+(1，0，1，2)T，其中k1，k2为任意常数．A=(α1，α2，α3，α4)，则()

设函数y(x)由参数方程确定，则曲线y＝y(x)在参数t＝0对应的点处的曲率率k＝________．

设函数y=y(x)由参数方程确定，求曲线y=y(x)的凹区间。

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为________．

已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是________．

已知电源电压X服从正态分布N(220，252)，在电源电压处于X≤200V，200V＜X＜240V，X＞240V三种情况下，某电子元件损坏的概率分别0．1，0．01，0．2．(1)试求该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200

阅读下面的文字，回答问题。《牡丹亭·游园》(节选)汤显祖【步步娇】(旦)袅晴丝吹来闲庭院，摇漾春如线。停半晌、整花钿。没揣菱花，偷人半面，迤逗的彩云偏。(行介)步香闺

按照有关规定，对受益人的权利和义务说法错误的是()。

M企业2016年度的财务会计报告于2017年4月10日批准报出，2017年1月10日，因产品质量原因，客户将2016年12月10日购入的一大批大额商品(达到重要性要求)退回。因产品退回，下列说法中，正确的是()。

下列关于税收立法表述正确的是（）。

在导游讲解中采用我问客答法要注意的一点是不管客人答对还是答错，导游都要予以鼓励。()

福利管理的主要原则包括()。

2000年我国GDP比1999年增加(　　)亿元。“九五”期间，我国经济增长率最低的年份的全社会固定资产投资总额为(　　)。

大脑：思维

字符(char)型数据在微机内存中的存储形式是()

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2000年我国GDP比1999年增加( )亿元。“九五”期间，我国经济增长率最低的年份的全社会固定资产投资总额为( )。

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