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(1998年试题,十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4,求a,b的值和正交矩阵P.
(1998年试题,十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4,求a,b的值和正交矩阵P.
admin
2013-12-27
70
问题
(1998年试题,十)已知二次曲面方程x
2
+ay
2
+z
2
+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程η
2
+4ζ
2
=4,求a,b的值和正交矩阵P.
选项
答案
设二次型为f(x,y,z)=x
2
+ay
2
+=z
2
+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为[*]同时该二次型的标准形为f
1
(ξ,η,ζ)=η
2
+4ζ
2
,其相应矩阵为[*]由于正交变换也是相似变换,不改变矩阵的特征值,因此λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=4也是矩阵A的特征值,由特征值多项式|A—λE|=0,有[*]将λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=4代入,可解得a=3且b=1.以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P.当λ
1
=0,有Ax=0,ξ
1
=[*]当λ
2
=1,有(A—E)x=0,ξ
2
=[*]当λ
3
=4,有(A一4I)x=0,ξ
3
=[*]从而正交变换矩阵为[*]
解析
本题在求参数a,b时,亦可利用条件∑a
ij
=∑b
ij
和|A|=|B|来求得.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qR54777K
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考研数学一
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