(1998年试题，十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

admin2013-12-27 53

问题 (1998年试题，十)已知二次曲面方程x²+ay²+z²+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程η²+4ζ²=4，求a，b的值和正交矩阵P．

选项

答案设二次型为f(x，y，z)=x²+ay²+=z²+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为[*]同时该二次型的标准形为f₁(ξ，η，ζ)=η²+4ζ²，其相应矩阵为[*]由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4也是矩阵A的特征值，由特征值多项式｜A—λE｜=0，有[*]将λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4代入，可解得a=3且b=1．以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P．当λ₁=0，有Ax=0，ξ₁=[*]当λ₂=1，有(A—E)x=0，ξ₂=[*]当λ₃=4，有(A一4I)x=0，ξ₃=[*]从而正交变换矩阵为[*]

解析本题在求参数a，b时，亦可利用条件∑a_ij=∑b_ij和｜A｜=｜B｜来求得.

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考研数学一

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