设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=。证明：存在，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。

admin2018-01-30 43

问题设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=

。
证明：存在

，使得f^’(ξ)+f^’(η)=ξ²+η²。

选项

答案令F(x)=f(x)一[*]x³，则F(1)=F(0)=0。在区间[*]上分别应用拉格朗日中值定理， [*] 将上面两个等式相加 F(1)一F(0)=[*][f^’(ξ)一ξ²]+[*][f^’(η)一η²]=0，即F^’(ξ)+F^’(η)=f^’(ξ)一ξ²+f^’(η)一η²=0，整理后得 f^’(ξ)+f^’(η)=ξ²+η²。

解析

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