设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量U=X+Y的方差.

admin2019-07-10  41

问题 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量U=X+Y的方差.

选项

答案三角形区域为G={(χ,y)|0≤χ≤1,0≤y≤1,χ+y≥1};随机变量X和Y的联合密度为 [*] 以f(u)表示U=X+Y的概率密度,当u<1或u>2时,显然f(u)=0. 设1≤u≤2,当0≤χ≤1且0≤u-χ≤1时,f(χ,u-χ)=2,否则f(χ,u-χ)=0.由随机变量之和的概率密度公式,有 f(u)=∫-∞+∞f(χ,u-χ)dχ=∫u-112dχ=2(2-u). 因此 E(X+Y)=E(U)=∫-∞+∞uf(u)du=2∫12u(2-u)du=[*], E(X+Y)=E(U*)=∫-∞+∞u2f(u)du=2∫12u2(2-u)du=[*], D(U)=D(X+y)=E(X+Y)2-[E(X+Y)]2 =[*]

解析
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