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已知齐次线性方程组 其中≠0。试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时: (I)方程组仅有零解; (Ⅱ)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。
已知齐次线性方程组 其中≠0。试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时: (I)方程组仅有零解; (Ⅱ)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。
admin
2018-02-07
66
问题
已知齐次线性方程组
其中
≠0。试讨论a
1
,a
2
,…,a
n
和b满足何种关系时:
(I)方程组仅有零解;
(Ⅱ)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。
选项
答案
方程组的系数矩阵的行列式 [*] (I)当b≠0且b+[*]≠0时,r(A)=0,方程组仅有零解。 (Ⅱ)当b=0时,原方程组的同解方程组为a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0。 由[*]≠0可知,a
i
(i=1,2,…,n)不全为零。不妨设a
1
≠0,得原方程组的一个基础解系为 α
1
=(一a
2
,a
1
,1,0,…,0)
T
,α
2
=(一a
3
,0,a
1
,…,0)
T
,…,α
n-1
=(一a
n
,0,0,…,a
1
)
T
。 当b=[*]时,有b≠0,原方程组的系数矩阵可化为 [*] (将第一行的一1倍加到其余各行,再从第二行到第n行同乘以[*]倍) [*] (将第i行的一a
i
(i=2,3,…,n)倍加到第一行,再将第一行移到最后一行) [*] 由此得原方程组的同解方程组为 x
2
=x
1
,x
3
=x
1
,…,x
n
=x
1
。 原方程组的一个基础解系为α=(1,1,…,1)
T
。
解析
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考研数学二
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