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设A是n阶方阵,A+E可逆,且 f(A)=(E—A)(E+A)-1. 证明: (1)[E+f(A)](E+A)=2E; (2)f[f(A)]=A.
设A是n阶方阵,A+E可逆,且 f(A)=(E—A)(E+A)-1. 证明: (1)[E+f(A)](E+A)=2E; (2)f[f(A)]=A.
admin
2016-11-03
42
问题
设A是n阶方阵,A+E可逆,且
f(A)=(E—A)(E+A)
-1
.
证明:
(1)[E+f(A)](E+A)=2E;
(2)f[f(A)]=A.
选项
答案
(1)[E+f(A)](E+A)=E+A+f(A)(E+A) =E+A+(E—A)(E+A)
-1
(E+A) =E+A+E—A=2E. (2)f[f(A)]=[E—f(A)][E+f(A)]
-1
.由(1)可知 [E+f(A)]
-1
=[*], 故f[f(A)]=[E一f(A)](E+A)/2=[E一(E—A)(E+A)
-1
](E+A)/2 =(E+A)/2一(E一A)(E+A)
-1
(E+A)/2 =(E+A)/2一(E一A)/2=A.
解析
利用矩阵运算及可逆矩阵的定义证之.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GHu4777K
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考研数学一
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