设A是n阶方阵，A+E可逆，且 f(A)=(E—A)(E+A)－1．证明： (1)[E+f(A)](E+A)=2E； (2)f[f(A)]=A．

admin2016-11-03 51

问题设A是n阶方阵，A+E可逆，且
f(A)=(E—A)(E+A)^－1．
证明：
(1)[E+f(A)](E+A)=2E；
(2)f[f(A)]=A．

选项

答案(1)[E+f(A)](E+A)=E+A+f(A)(E+A) =E+A+(E—A)(E+A)^－1(E+A) =E+A+E—A=2E． (2)f[f(A)]=[E—f(A)][E+f(A)]^－1．由(1)可知 [E+f(A)]^－1=[*]，故f[f(A)]=[E一f(A)](E+A)／2=[E一(E—A)(E+A)^－1](E+A)／2 =(E+A)／2一(E一A)(E+A)^－1(E+A)／2 =(E+A)／2一(E一A)／2=A．

解析利用矩阵运算及可逆矩阵的定义证之．

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考研数学一

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