已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,一1,3)T,又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,一3,1,a)T, 如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解,求

admin2014-02-06  40

问题 已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,一1,3)T,又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,一3,1,a)T
如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.

选项

答案设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为y,则y既可由η1,η2线性表出,也可由β1,β2线性表出,故可设y=x1η1+x2η2一x3β1—x4β2,于是x1η1+x2η2+x3β1+x4β2=0.对(η1,η2,β1,β2)作初等行变换,有[*]y≠0[*]x1,x2,x3,x4不全为0[*]秩r(η1,η2,β1,β2)<4[*]a=0.当a=0时,解出x4=t,x3=一t,x2=一t,x1=2t.因此Ax=0与Bx=0的公共解为y=2tη1—tη2=t(1,4,1,1)T,其中t为任意常数.

解析
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