设矩阵A=相似于矩阵B=． (I)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2022-09-22 48

问题设矩阵A=

相似于矩阵B=

．
(I)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案(I)由于A～B，可知r(A)=r(B)，且｜A｜=｜B｜．因此[*]解得[*] (Ⅱ)由(I)知，[*] 由于A～B，可知｜λE-A｜=｜λE-B｜=(λ-1)²(λ-5)．从而可得A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=5．当λ₁=λ₂=1时，(E-A)x=0的基础解系为ξ₁=(2，1，0)^T，ξ₂=(-3，0，1)^T．当ξ₃=5时，(5E-A)x=0的基础解系为ξ₃=(-1，-1，1)^T．令P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*]，则有P^-1AP=[*]．因此P为所求的可逆矩阵．

解析

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