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设矩阵A=相似于矩阵B=. (I)求a,b的值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
设矩阵A=相似于矩阵B=. (I)求a,b的值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
admin
2022-09-22
25
问题
设矩阵A=
相似于矩阵B=
.
(I)求a,b的值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(I)由于A~B,可知r(A)=r(B),且|A|=|B|. 因此[*]解得[*] (Ⅱ)由(I)知,[*] 由于A~B,可知|λE-A|=|λE-B|=(λ-1)
2
(λ-5). 从而可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=5. 当λ
1
=λ
2
=1时,(E-A)x=0的基础解系为ξ
1
=(2,1,0)
T
,ξ
2
=(-3,0,1)
T
. 当ξ
3
=5时,(5E-A)x=0的基础解系为ξ
3
=(-1,-1,1)
T
. 令P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*],则有P
-1
AP=[*]. 因此P为所求的可逆矩阵.
解析
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考研数学二
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