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  3. 已知二次型xTAx=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是_______。

已知二次型xTAx=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是_______。

admin2021-11-08  15
问题 已知二次型xTAx=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是_______。
选项
答案3y12-6y32
解析 求二次型xTAx在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵A的特征值。由于

且(2，1，2)T是A的特征向量，则有

解得a=b=2，λ1=3。
    由秩为2知，｜A｜=0，于是λ2=0是A的另一个特征值，再由λi，有1+(-5)+1=3+0+λ3，则λ3=-6是A的另外一个特征值。于是可得，正交变换下二次型的标准形是3y12-6y32。
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