已知二次型xTAx=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是_______。

admin2021-11-08 12

问题已知二次型x^TAx=x₁²-5x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₂x₃+2x₁x₃的秩为2，(2，1，2)^T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是_______。

选项

答案3y₁²-6y₃²

解析求二次型x^TAx在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵A的特征值。由于

且(2，1，2)^T是A的特征向量，则有

解得a=b=2，λ₁=3。
由秩为2知，｜A｜=0，于是λ₂=0是A的另一个特征值，再由

λ_i，有1+(-5)+1=3+0+λ₃，则λ₃=-6是A的另外一个特征值。于是可得，正交变换下二次型的标准形是3y₁²-6y₃²。

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