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  3. 随机地向半圆0＜y＜(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹角，求X的概率密度．

随机地向半圆0＜y＜(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹角，求X的概率密度．

admin2020-03-05  27
问题 随机地向半圆0＜y＜(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹角，求X的概率密度．
选项
答案设比例系数为λ，而点落在半圆这个区域的概率为1，它应等于比例系数λ与半圆面积[*]．因此， 当0＜x＜[*]时，事件{X≤x}的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积[*]πa2；分子面积S是三角形BOA与扇形ABC的面积之和，即 S=[*](2x+sin2x)． 因此，当0＜x＜[*]时， F(x)=P{X≤x}=[*](2x+sin2x)． 综上分析 [*] 所求的X的概率密度为f(x)=[*]
解析 由图2．1看出，X取值在(0，)内，由于X是一个连续型随机变量，我们通过它的分布函数F(x)求其概率密度f(x)．
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考研数学一

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