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设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:存在η∈[-a,a],使a3fˊˊ(η)=3∫-aaf(x)dx.
设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:存在η∈[-a,a],使a3fˊˊ(η)=3∫-aaf(x)dx.
admin
2016-09-13
111
问题
设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
(2)证明:存在η∈[-a,a],使a
3
fˊˊ(η)=3∫
-a
a
f(x)dx.
选项
答案
(1)对任意x∈[-a,a] f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]fˊˊ(ξ)x
2
=fˊ(0)x+[*]x
2
. (2)∫
-a
a
f(x)dx=∫
-a
a
fˊ(0)xdx+[*]∫
-a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx=[*]∫
-a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx, 因为fˊˊ(x)在[-a,a]上连续,由最值定理:m≤fˊˊ(x)≤M,x∈[-a,a]. mx
2
≤fˊˊ(ξ)x
2
≤Mx
2
, [*]ma
3
=m∫
-a
a
x
2
dx≤∫
-a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx≤M∫
-a
a
x
2
dx=[*]Ma
3
, m[*]∫
-a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx=∫
-a
a
f(x)dx≤[*]M, m≤[*]∫
-a
a
f(x)dx. 由介值定理,存在η[-a,a],使得fˊˊ(η)=[*]∫
-a
a
f(x)dx.
解析
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考研数学三
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