2. 考研
  3. 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在η∈[－a，a]，使a3fˊˊ(η)=3∫－aaf(x)dx．

设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在η∈[－a，a]，使a3fˊˊ(η)=3∫－aaf(x)dx．

admin2016-09-13  124
问题 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明：存在η∈[－a，a]，使a3fˊˊ(η)=3∫－aaf(x)dx．
选项
答案(1)对任意x∈[－a，a] f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]fˊˊ(ξ)x2=fˊ(0)x+[*]x2． (2)∫－aaf(x)dx=∫－aafˊ(0)xdx+[*]∫－aafˊˊ(ξ)x2dx=[*]∫－aafˊˊ(ξ)x2dx， 因为fˊˊ(x)在[－a，a]上连续，由最值定理：m≤fˊˊ(x)≤M，x∈[－a，a]． mx2≤fˊˊ(ξ)x2≤Mx2， [*]ma3=m∫－aax2dx≤∫－aafˊˊ(ξ)x2dx≤M∫－aax2dx=[*]Ma3， m[*]∫－aafˊˊ(ξ)x2dx=∫－aaf(x)dx≤[*]M， m≤[*]∫－aaf(x)dx． 由介值定理，存在η[－a，a]，使得fˊˊ(η)=[*]∫－aaf(x)dx．
解析
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考研数学三

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