2. 考研
  3. (Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b－a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3

(Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b－a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3

admin2018-04-14  48
问题 (Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b－a)；
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0。
选项
答案(Ⅰ)设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即 m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。 由定积分性质，有m(b－a)≤∫abf(x)dx≤M(b－a)，即m≤∫abf(x)dx／(b－a)≤M。 根据连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]，使得f(η)=∫abf(x)dx／(b－a)，即 ∫abf(x)dx=f(η)(b－a)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论可知，至少存在一点θ∈[2，3]，使∫23φ(x)dx=φ(η)(3－2)=φ(η)。则 φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，且η＞2。 对φ(x)在[1，2]和[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)得 φ’(ξ1)=[*]＞0，其中1＜ξ1＜2； φ’(ξ2)=[*]＜0，其中2＜ξ2＜η≤3； 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有 φ"(ξ)=[*]＜0，其中ξ∈(ξ1，ξ2)[*](1，3)。
解析
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考研数学二

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