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(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b-a); (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3
(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b-a); (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3
admin
2018-04-14
65
问题
(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫
a
b
f(x)dx=f(η)(b-a);
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ"(ξ)<0。
选项
答案
(Ⅰ)设M与m是连续函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,即 m≤f(x)≤M,x∈[a,b]。 由定积分性质,有m(b-a)≤∫
a
b
f(x)dx≤M(b-a),即m≤∫
a
b
f(x)dx/(b-a)≤M。 根据连续函数介值定理,至少存在一点η∈[a,b],使得f(η)=∫
a
b
f(x)dx/(b-a),即 ∫
a
b
f(x)dx=f(η)(b-a)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论可知,至少存在一点θ∈[2,3],使∫
2
3
φ(x)dx=φ(η)(3-2)=φ(η)。则 φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx=φ(η),且η>2。 对φ(x)在[1,2]和[2,η]上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到φ(1)<φ(2),φ(η)<φ(2)得 φ’(ξ
1
)=[*]>0,其中1<ξ
1
<2; φ’(ξ
2
)=[*]<0,其中2<ξ
2
<η≤3; 在[ξ
1
,ξ
2
]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理,有 φ"(ξ)=[*]<0,其中ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](1,3)。
解析
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考研数学二
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