设A*为n阶方阵A的伴随矩阵(n≥2)。证明：

admin2017-10-19 60

问题设A^*为n阶方阵A的伴随矩阵(n≥2)。
证明：

选项

答案当r(A)=n时，|A|≠0，|A^*|=|A|^n-1≠0，[*]r(A^*)=n；当r(A)=n一1时，A中非零子式的最高阶数为n一1，做A^*≠0，[*]r(A^*)≥1，又A^*A=|A|E=0，A的每一列都是方程组A^*x=0的解向量，故A^*x=0至少有r(A)=n—1个线性无关解，从而有n—r(A^*)≥n一1[*]r(A^*)≤1，以上两方面说明r(A^*)=1；当r(A)＜n一1时，A的每个n一1阶子式——即每个元素的余子式都为零，故A^*=0[*]r(A^*)=0．

解析

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考研数学三

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