非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( )

admin2019-05-15  27

问题 非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则(    )

选项 A、r=m时,方程组AX=b有解.
B、r=n时,方程组AX=b有唯一解.
C、m=n时,方程组AX=b有唯一解.
D、r<n时,方程组AX=b有无穷多解.

答案A

解析 因A是m×n矩阵,若R(A)=m,增广矩阵(A,b)也只有m行,则
    m=R(A)≤R(A,b)≤m,
有R(A)=R(A,b),故AX=b有解.应选A;
    或由R(A)=m知A的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,故增广矩阵(A,b)的m个行向量也是线性无关的,亦即R(A)=R(A,b);
    关于B、D不正确的原因是:由r≤n不能推出R(A)=R(A,b)(注意:A是m×n矩阵,m可能大于n),AX=b不一定有解.故B、D不成立.
    至于C,当m=n时,AX=b可能无解,还可能有无穷多解(只有当r=m=n时,AX=b才有唯一解),故C不成立.
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