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[2010年] 设已知线性方程组AX=b存在两个不同的解． 求方程组AX=b的通解．

admin2021-01-25  52
问题 [2010年]  设已知线性方程组AX=b存在两个不同的解．
求方程组AX=b的通解．
选项
答案解一 因λ=1时，秩(A)≠秩[*]．此时AX=b无解．将λ=一1，a=一2代入AX=b中，对其增广矩阵[*]进行初等行变换，得到 [*] 由基础解系的简便求法得AX=0的基础解系只含一个解向量α=[1，0，1]T，AX=b的一个特解为β=[3／2，一1／2，0]T．因而AX=b的通解为 X=cα+β=c[1，0，1]T+[3／2，一1／2，0]T， c为任意常数． 解二 由[*]知，原方程组的同解方程组为 [*] 令x3=0，得原方程组的一特解为η=[3／2，一1／2，0]T． 方程组对应的齐次方程组的等价方程组为[*]其中x3为自由未知量．令x3=1，得齐次方程组的基础解系α=[1，0，1]T，故AX=b的通解为 X=η+kα=[3／2，一1／2，0]T+k[1，0，1]T， k为任意常数．
解析
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考研数学三

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