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设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为q1(吨)与q2(吨)时，总收入函数为R(q1，q2)=15q1+34q2-q12-4q22-2q1q2-36(万元)，设生产1吨甲产品要支付排污费1万元，生产1吨乙产品要支付排污费2万元。 (Ⅰ)如不限
设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为q1(吨)与q2(吨)时，总收入函数为R(q1，q2)=15q1+34q2-q12-4q22-2q1q2-36(万元)，设生产1吨甲产品要支付排污费1万元，生产1吨乙产品要支付排污费2万元。 (Ⅰ)如不限
admin
2020-03-10
78
问题
设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为q
1
(吨)与q
2
(吨)时，总收入函数为R(q
1
，q
2
)=15q
1
+34q
2
-q
1
2
-4q
2
2
-2q
1
q
2
-36(万元)，设生产1吨甲产品要支付排污费1万元，生产1吨乙产品要支付排污费2万元。
(Ⅰ)如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大？最大利润多少？
(Ⅱ)若排污费总量为6万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大？最大利润多少？
选项
答案
(Ⅰ)利润函数为 L(q
1
，q
2
)=R(q
1
，q
2
)-q
1
-2q
2
=14q
1
+32q
2
-q
1
2
-4q
2
2
-2q
1
q
2
-36。 则令 [*] 得q
1
=4，q
2
=3 因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当q
1
=4，q
2
=3时L(q
1
，q
2
)达到最大，最大值为L(4，3)=40(万元)。 (Ⅱ)由题意，即有q
1
+2q
2
=6。则转化为在条件q
1
+2q
2
=6下，利润函数L(q
1
，q
2
)的最大值问题。 构造拉格朗日函数F(q
1
，q
2
，λ)=L(q
1
，q
2
)+λ(q
1
+2q
2
-6)，且令 [*] 得q
1
=2，q
2
=2，于是在条件q
1
+2q
2
=6下，当q
1
=2，q
2
=2时，L(q
1
，q
2
)取到最大值，最大值为L(2，2)=28(万元)。
解析
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考研数学三
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