(2000年)设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2021-01-25  68

问题 (2000年)设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

选项

答案令F(x)=∫0πf(t)dt,0≤x≤π 则有F(0)=0,F(π)=0,又因为 0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx|0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx 所以存在ξ∈(0,π),使F(e)sins=0,因若不然,则在(0,π)内或F(x)sinx恒为正,或F(x)sinx恒为负,均与 I F(x)sinxdx=0矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sins≠0,故F(ξ)=0. 由以上证得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(x)在区间[0,ξ,[ξ,π]上分别用罗尔中值定理知至少存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π),使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0 即 f(ξ1)=f(ξ2)=0

解析
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