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(2000年)设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(2000年)设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2021-01-25
132
问题
(2000年)设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)dx=0,∫
0
π
f(x)cosxdx=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
π
f(t)dt,0≤x≤π 则有F(0)=0,F(π)=0,又因为 0=∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
cosxdF(x)=F(x)cosx|
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx=∫
0
π
F(x)sinxdx 所以存在ξ∈(0,π),使F(e)sins=0,因若不然,则在(0,π)内或F(x)sinx恒为正,或F(x)sinx恒为负,均与 I F(x)sinxdx=0矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sins≠0,故F(ξ)=0. 由以上证得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(x)在区间[0,ξ,[ξ,π]上分别用罗尔中值定理知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0 即 f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0
解析
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0
考研数学三
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