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(Ⅰ)设圆盘的半径为R,厚为h.点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方,求该圆盘的质量m; (Ⅱ)将以曲线y=,x=1,x=4及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V,设V的点密度为该点到旋转轴的距离的平方,求该物体的质量M.
(Ⅰ)设圆盘的半径为R,厚为h.点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方,求该圆盘的质量m; (Ⅱ)将以曲线y=,x=1,x=4及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V,设V的点密度为该点到旋转轴的距离的平方,求该物体的质量M.
admin
2016-07-22
79
问题
(Ⅰ)设圆盘的半径为R,厚为h.点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方,求该圆盘的质量m;
(Ⅱ)将以曲线y=
,x=1,x=4及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V,设V的点密度为该点到旋转轴的距离的平方,求该物体的质量M.
选项
答案
[*] (Ⅰ)以环细分圆盘,设环的宽度为dr,内半径为r,在环上点密度视为不变,为r
2
,质量元素为dm=r
2
.2πrdr.h.于是该圆盘的质量为 m=2πh[*]πhR
4
. (Ⅱ)该旋转体可看成由一个个薄片组成,由(Ⅰ),每一薄片的质量 [*] dM=[*]πR
4
dx, 其中R为x处的旋转半径,即y,于是质量元素为 dM=[*]πx
2
dx, 所以物体的质量为 M=[*]π.
解析
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考研数学二
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