2. 考研
  3. 设 讨论它们在点(0，0)处的 ① 偏导数的存在性： ②函数的连续性； ③方向导数的存在性； ④函数的可微性．

设 讨论它们在点(0，0)处的 ① 偏导数的存在性： ②函数的连续性； ③方向导数的存在性； ④函数的可微性．

admin2016-09-13  49
问题 设

讨论它们在点(0，0)处的
① 偏导数的存在性：
②函数的连续性；
③方向导数的存在性；
④函数的可微性．
选项
答案(1)①按定义易知fˊx(0，0)=0，fˊy(0，0)=0． ②｜f(x,y)－0｜=[*]→0(当x，y)→(0，0))，所以f(x，y)在点(0，0)处连续． ③l0==(cosα，sinα)，[*]cos2αsin2α=cos2αsin2α(存在)． ④△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=[*]，按可微定义，若可微，则 [*] 即应有[*] 但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左边为[*])，故不可微． (2)以下直接证明④成立，由此可推知①，②，③均成立．事实上， [*] 按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0)处可微．
解析
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考研数学三

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