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设 讨论它们在点(0,0)处的 ① 偏导数的存在性: ②函数的连续性; ③方向导数的存在性; ④函数的可微性.
设 讨论它们在点(0,0)处的 ① 偏导数的存在性: ②函数的连续性; ③方向导数的存在性; ④函数的可微性.
admin
2016-09-13
49
问题
设
讨论它们在点(0,0)处的
① 偏导数的存在性:
②函数的连续性;
③方向导数的存在性;
④函数的可微性.
选项
答案
(1)①按定义易知fˊ
x
(0,0)=0,fˊ
y
(0,0)=0. ②|f(x,y)-0|=[*]→0(当x,y)→(0,0)),所以f(x,y)在点(0,0)处连续. ③l
0
==(cosα,sinα),[*]cos
2
αsin
2
α=cos
2
αsin
2
α(存在). ④△f=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)=[*],按可微定义,若可微,则 [*] 即应有[*] 但上式并不成立(例如取△y=k△x,上式左边为[*]),故不可微. (2)以下直接证明④成立,由此可推知①,②,③均成立.事实上, [*] 按可微的定义知,g(x,y)在点(0,0)处可微.
解析
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考研数学三
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