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设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(A)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(A)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
admin
2015-07-22
48
问题
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(A)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.证明:
在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
选项
答案
由加强型的积分中值定理知,至少存在一点c∈(a,b),使得 [*] 设G(x)=e
-x
f(x),则G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且G(a)=G(b)=G(c)=0, G’(x)=e
-x
f’(x)一e
-x
f(x)=e
-x
[f’(x)一f’(x)].由罗尔定理知,分别存在ξ
1
∈(a,c)和ξ
2
∈(c, b),使得G’(ξ
1
)=G’(ξ
2
)=0,从而f’(ξ
1
)=f(ξ
1
),f’(ξ
2
)=f(ξ
2
).
解析
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考研数学三
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