2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： 在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： 在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；

admin2015-07-22  35
问题 设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：
在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；
选项
答案由加强型的积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得 [*] 设G(x)=e-xf(x)，则G(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G(a)=G(b)=G(c)=0， G’(x)=e-xf’(x)一e-xf(x)=e-x[f’(x)一f’(x)]．由罗尔定理知，分别存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c， b)，使得G’(ξ1)=G’(ξ2)=0，从而f’(ξ1)=f(ξ1)，f’(ξ2)=f(ξ2)．
解析
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考研数学三

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