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(1998年)设y=y(χ)是一向上凸的连续曲线,其上任一点(χ,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程.并求函数y=y(χ)的极值.
(1998年)设y=y(χ)是一向上凸的连续曲线,其上任一点(χ,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程.并求函数y=y(χ)的极值.
admin
2021-01-19
73
问题
(1998年)设y=y(χ)是一向上凸的连续曲线,其上任一点(χ,y)处的曲率为
,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程.并求函数y=y(χ)的极值.
选项
答案
因曲线向上凸,则y〞<0;由题设有 [*] 化简,即为y〞=-(1+y
′2
) 曲线经过点(0,1),故y(0)=1,又因为在该点的切线方程为y=χ+1,即切线斜率为1,于是y′(0)=1. 现在归结为求[*]的特解. 令y′=P,y〞=P′,于是得P′=-(1+P
2
) 分离变量解得arctanP=C
1
-χ,以P(0)=1代入,得 C
1
=arctan1=[*],所以y′=P=tan([*]-χ).再积分得 [*] 以y(0)=1代入,得C
2
=1+[*]ln2,故所求曲线方程为 [*] 取其含有χ=0在内的连续的一支为 [*] 当[*]时,cos([*]-χ)→0,y→-∞,故此函数无极小值.当χ=[*]时,y为极大,极大值y=1+[*]ln2.
解析
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考研数学二
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