2. 考研
  3. (1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．

(1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．

admin2021-01-19  52
问题 (1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．
选项
答案因曲线向上凸，则y〞＜0；由题设有 [*] 化简，即为y〞＝－(1＋y′2) 曲线经过点(0，1)，故y(0)＝1，又因为在该点的切线方程为y＝χ＋1，即切线斜率为1，于是y′(0)＝1． 现在归结为求[*]的特解． 令y′＝P，y〞＝P′，于是得P′＝－(1＋P2) 分离变量解得arctanP＝C1－χ，以P(0)＝1代入，得 C1＝arctan1＝[*]，所以y′＝P＝tan([*]－χ)．再积分得 [*] 以y(0)＝1代入，得C2＝1＋[*]ln2，故所求曲线方程为 [*] 取其含有χ＝0在内的连续的一支为 [*] 当[*]时，cos([*]－χ)→0，y→－∞，故此函数无极小值．当χ＝[*]时，y为极大，极大值y＝1＋[*]ln2．
解析
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考研数学二

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