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已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。 求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐点。
已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。 求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐点。
admin
2019-06-28
57
问题
已知函数f(x)满足方程f
’’
(x)+f
’
(x)一2f(x)=0及f
’’
(x)+f(x)=2e
x
。
求曲线y=f(x
2
∫
0
x
f(－t
2
)dt的拐点。
选项
答案
曲线方程为y=e
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt，则 y
’
=1+2xe
x
2
∫
0
x
e
－t
2
， y
’’
=2x+2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt， 令y
’’
=0得x=0。 下面证明x=0是y
’’
=0唯一的解，当x＞0时， 2x＞0，2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt＞0， 可知y
’’
＞0； 当x＜0时， 2x＜0，2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt＜0， 可知y
’’
＜0。可知x=0是y
’’
=0唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x
2
)∫
0
x
f(－t
2
)dt在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线y=f(x
2
)∫
0
x
(一t
2
)dt唯一的拐点。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MZV4777K
0
考研数学二
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