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已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。 求曲线y=f(x2∫0xf(-t2)dt的拐点。
已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。 求曲线y=f(x2∫0xf(-t2)dt的拐点。
admin
2019-06-28
26
问题
已知函数f(x)满足方程f
’’
(x)+f
’
(x)一2f(x)=0及f
’’
(x)+f(x)=2e
x
。
求曲线y=f(x
2
∫
0
x
f(-t
2
)dt的拐点。
选项
答案
曲线方程为y=e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt,则 y
’
=1+2xe
x
2
∫
0
x
e
-t
2
, y
’’
=2x+2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt, 令y
’’
=0得x=0。 下面证明x=0是y
’’
=0唯一的解,当x>0时, 2x>0,2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt>0, 可知y
’’
>0; 当x<0时, 2x<0,2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt<0, 可知y
’’
<0。可知x=0是y
’’
=0唯一的解。 同时,由上述讨论可知曲线 y=f(x
2
)∫
0
x
f(-t
2
)dt在x=0左、右两边的凹凸性相反,因此(0,0)点是曲线y=f(x
2
)∫
0
x
(一t
2
)dt唯一的拐点。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MZV4777K
0
考研数学二
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