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设f(x)在(-∞,+∞)上可导,且其反函数存在,记为g(x).若 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1,则当-∞<x<+∞时f(x)=_________.
设f(x)在(-∞,+∞)上可导,且其反函数存在,记为g(x).若 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1,则当-∞<x<+∞时f(x)=_________.
admin
2016-09-13
69
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上可导,且其反函数存在,记为g(x).若
∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
-e
x
+1,则当-∞<x<+∞时f(x)=_________.
选项
答案
[*]
解析
未知函数含于积分之中的方程称为积分方程.现在此积
分的上限为变量,求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之.注意,积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中,读者应自行设法挖掘之.
将所给方程两边对x求导,有
g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xe
x
.
因g[f(x)]≡x,所以上式成为
xfˊ(x)+f(x)=xe
x
.
以x=0代入上式,由于fˊ(0)存在,所以由上式得f(0)=0.当x≠0时,上式成为
fˊ(x)+
f(x)=e
x
.
解得
由于f(x)在x=0处可导,所以连续.令x→0,得
0=f(0)=1+
,
所以
=-1,从而知C=1.于是得
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/H3T4777K
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考研数学三
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[*]
[*]
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证明[*]
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