设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)=_________．

admin2016-09-13 107

问题设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若
∫₀^f(x)g(t)dt+∫₀^xf(t)dt=xe^x－e^x+1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)=_________．

选项

答案[*]

解析未知函数含于积分之中的方程称为积分方程．现在此积
分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之．注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之．
将所给方程两边对x求导，有
g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xe^x．
因g[f(x)]≡x，所以上式成为
xfˊ(x)+f(x)=xe^x．
以x=0代入上式，由于fˊ(0)存在，所以由上式得f(0)=0．当x≠0时，上式成为
fˊ(x)+