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设f(χ)= (Ⅰ)若f(χ)处处连续,求a,b的值; (Ⅱ)若a,b不是(Ⅰ)中求出的值时f(χ)有何间断点,并指出它的类型.
设f(χ)= (Ⅰ)若f(χ)处处连续,求a,b的值; (Ⅱ)若a,b不是(Ⅰ)中求出的值时f(χ)有何间断点,并指出它的类型.
admin
2019-05-11
143
问题
设f(χ)=
(Ⅰ)若f(χ)处处连续,求a,b的值;
(Ⅱ)若a,b不是(Ⅰ)中求出的值时f(χ)有何间断点,并指出它的类型.
选项
答案
(Ⅰ)首先求出f(χ).注意到 [*] 故要分段求出f(χ)的表达式. 当|χ|>1时,f(χ)=[*]; 当|χ|<1时,f(χ)=[*]=aχ
2
+bχ. 于是得[*] 其次,由初等函数的连续性知f(χ)分别在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)上连续. 最后,只需考察f(χ)在分界点χ=±1处的连续性.这就要按定义考察连续性,分别计算: [*] 从而f(χ)在χ=1连续[*]f(1+0)=f(1-0)=f(1)[*]a+b=1=[*](a+b+1) [*]a+b=1; f(χ)在χ=-1连续[*]f(-1+0)==f(-1-0)==f(-1)[*]a-b=-1=[*](a-b-1) [*]a-b=-1. 因此f(χ)在χ=±1均连续[*]a=0,b=1.当且仅当a=0,b=1时f(χ)处处连续. (Ⅱ)当(a,b)≠(0,1)时,若a+b=1(则a-b≠-1),则χ=1是连续点,只有χ=-1是间断点,且是第一类间断点;若a-b=-1(则a+b≠1),则χ=-1是连续点,只有间断点χ=1,且是第一类间断点;若a-b≠-1且a+b≠1,则χ=1,χ=-1均是第一类间断点.
解析
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