当x≥0，证明∫0x(t—t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．

admin2019-07-19 12

问题当x≥0，证明∫₀^x(t—t²)sin²ⁿtdt≤

，其中n为自然数．

选项

答案令f(x)=∫₀^x(t—t²)sin²ⁿtdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f’(x)=(x一x²)sin²ⁿx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t。于是当x≥0时有 f(x)≤f(1)=∫₀¹(t一t²)sin²ⁿtdt≤∫₀¹(t一t²)²ⁿdt [*]

解析

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考研数学一

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