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f(x)在(-∞,+∞)上连续,=+∞,且f(x)的最小值f(x0)<x0,证明:f[f(x)]至少在两点处取得最小值.
f(x)在(-∞,+∞)上连续,=+∞,且f(x)的最小值f(x0)<x0,证明:f[f(x)]至少在两点处取得最小值.
admin
2016-09-13
58
问题
f(x)在(-∞,+∞)上连续,
=+∞,且f(x)的最小值f(x
0
)<x
0
,证明:f[f(x)]至少在两点处取得最小值.
选项
答案
令F(x)=f(x)-x
0
,则F(x)在(-∞,+∞)上连续,且F(x
0
)<0,[*]=+∞,由[*]=+∞,知[*],使得F(b)>0,于是由零点定理,知[*]x
1
∈(a,x
0
),使得F(x
1
)=0;[*]x
2
∈(x
0
,b),使得F(x
2
)=0,即有x
1
<x
0
<x
2
,使得f(x
1
)=x
0
=f(x
2
),从而得f[f(x
1
)]=f(x
0
)=f[f(x
2
)].
解析
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考研数学三
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