设矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B＝(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则( )．

admin2020-03-24 67

问题设矩阵A＝(α₁，α₂，α₃，α₄)经行初等变换为矩阵B＝(β₁，β₂，β₃，β₄)，且α₁，α₂，α₃线性无关，α₁，α₂，α₃，α₄线性相关，则( )．

选项 A、β₄不能由β₁，β₂，β₃线性表示
B、β₄能由β₁，β₂，β₃线性表示，但表示法不唯一
C、β₄能由β₁，β₂，β₃线性表示，且表示法唯一
D、β₄能否由β₁，β₂，β₃线性表示不能确定

答案C

解析因为α₁，α₂，α₃线性无关，而α₁，α₂，α₃，α₄线性相关，所以
α₄可由α₁，α₂，α₃唯一线性表
示，又A＝(α₁，α₂，α₃，α₄)经过有限次初等行变换化为B＝(β₁，β₂，β₃，β₄)，所以方程组
x₁α₁＋x₂α₂＋x₃α₃＝α₄与x₁β₁＋
x₂β₂＋x₃β₃＝β₄是同解方程组，因为方程组x₁α₁＋x₂α₂
＋x₃α₃＝α₄有唯一解，所以方程组x₁β₁＋x₂β₂＋x₃β₃＝β₄有唯一解，即β₄可由β₁，β₂，β₃
唯一线性表示，选(C)．

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考研数学三

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