设f为区间I上严格凸函数．证明：若x0∈I为f的极小值点，则x0为f在I上唯一的极小值点．

admin2022-11-23 17

问题设f为区间I上严格凸函数．证明：若x₀∈I为f的极小值点，则x₀为f在I上唯一的极小值点．

选项

答案反证法．若f有异于x₀的另一极小值点x₁∈I．不妨设f(x₁)≥f(x₀)．由f是I上的严格凸函数知，对任意λ∈(0．1)总有 f(λx₀+(1-λ)x₁)＜λf(x₀)+(1-λ)f(x₁)≤λf(x₁)+(1-λ)f(x₁)=f(x₁)．因此，对[*]δ＞0，只要λ充分接近0．总有x=λx₀+(1-λ)x₁∈U⁰(x₁；δ)∩I，但是f(x)＜f(x₁)，此与x₁是f的极小值点矛盾．故x₀是f在I上的唯一极小值点．

解析

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