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已知向量组(I):α1,α2,α3;(Ⅱ):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α4,α5.如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3,r(Ⅲ)=4.证明向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
已知向量组(I):α1,α2,α3;(Ⅱ):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α4,α5.如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3,r(Ⅲ)=4.证明向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
admin
2012-03-22
63
问题
已知向量组(I):α
1
,α
2
,α
3
;(Ⅱ):α
1
,α
2
,α
3
,α
4
;(Ⅲ):α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
.如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3,r(Ⅲ)=4.证明向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
的秩为4.
选项
答案
因为r(I)=r(II)=3,所以α
1
,α
2
,α
3
线性无关,而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,因此α
4
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,设为α
4
=lα
1
+lα
2
+lα
3
. 若k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(α
5
-α
4
)=0, 即(k
1
-l
1
k
4
)α
1
+(k
2
-l
2
k
4
)α
2
+(kα
3
-l
3
k
4
4)α
3
+k
4
α
5
=0, 由于r(Ⅲ)=4,即α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性无关.故必有 解出k
4
=0,k
3
=0,k
2
=0,k
1
=0. 于是α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
的秩为4.
解析
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考研数学三
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