2. 考研
  3. 已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

admin2012-03-22  75
问题 已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
选项
答案因为r(I)=r(II)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，因此α4可由α1，α2，α3线性表出，设为α4=lα1+lα2+lα3． 若k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0， 即(k1-l1k4)α1+(k2-l2k4)α2+(kα3-l3k44)α3+k4α5=0， 由于r(Ⅲ)=4，即α1，α2，α3，α5线性无关．故必有 解出k4=0，k3=0，k2=0，k1=0． 于是α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
解析
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考研数学三

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