2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．

admin2016-09-19  48
问题 设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．
(1)证明：β，Aβ，A2β线性无关；
(2)若A3β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．
选项
答案(1)设 k1β+k2Aβ+k3A2β=0， ① 由题设Aαi=λiαi(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3， A2β=λ12α1+λ22α2+λ32α3， 代入①式整理得 (k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2 +(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0． 因为α1，α2，α3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*] 其系数行列式[*]≠0，必有k1=k2=k3=0，故β，Aβ，A2β线性无关． (2)由A3β=Aβ有 A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β][*] 令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且 P－1AP=[*]=B， 从而有r(A－E)=r(B－E)=[*]=2． ｜A+2E｜=｜B+2E｜=[*]=6．
解析
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考研数学三

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