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设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,fˊ(x)≥0,gˊ(x)≥0.证明:对任意a∈[0,1],有∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1).
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,fˊ(x)≥0,gˊ(x)≥0.证明:对任意a∈[0,1],有∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1).
admin
2016-09-13
71
问题
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,fˊ(x)≥0,gˊ(x)≥0.证明:对任意a∈[0,1],有∫
0
a
g(x)fˊ(x)dx+∫
0
1
f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1).
选项
答案
令F(a)=∫
0
a
g(x)fˊ(x)dx+∫
0
1
f(x)gˊ(x)dx-f(a)g(1),a∈[0,1],则 Fˊ(a)=g(a)fˊ(a)-fˊ(a)g(1)=fˊ(a)[g(a)-g(1)]. 因为x∈[0,1]时,fˊ(x)≥0,gˊ(x)≥0,即函数f(x),g(x)在[0,1]上单调递增,又a≤1,所以 Fˊ(a)=fˊ(a)[g(a)-g(1)]≤0, 即函数F(a)在[0,1]上单调递减,又 F(1)=∫
0
1
g(x)fˊ(x)dx+∫
0
1
f(x)gˊ(x)dx-f(1)g(1) =∫
0
1
[g(x)f(x)]ˊdx-f(1)g(1)=g(1)f(1)-g(0)f(0)-f(1)g(1) =-f(0)g(0)=0, 所以,F(a)≥F(1)=0,即 ∫
0
a
g(x)fˊ(x)dx+∫
0
1
f(x)gˊ(x)dx-f(a)g(1)≥0, 即 ∫
0
a
g(x)fˊ(x)dx+∫
0
1
f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HRT4777K
0
考研数学三
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证明[*]
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