2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，fˊ(x)≥0，gˊ(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1)．

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，fˊ(x)≥0，gˊ(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1)．

admin2016-09-13  54
问题 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，fˊ(x)≥0，gˊ(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1)．
选项
答案令F(a)=∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx－f(a)g(1)，a∈[0，1]，则 Fˊ(a)=g(a)fˊ(a)－fˊ(a)g(1)=fˊ(a)[g(a)－g(1)]． 因为x∈[0，1]时，fˊ(x)≥0，gˊ(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以 Fˊ(a)=fˊ(a)[g(a)－g(1)]≤0， 即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又 F(1)=∫01g(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx－f(1)g(1) =∫01[g(x)f(x)]ˊdx－f(1)g(1)=g(1)f(1)－g(0)f(0)－f(1)g(1) =－f(0)g(0)=0， 所以，F(a)≥F(1)=0，即 ∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx－f(a)g(1)≥0， 即 ∫0ag(x)fˊ(x)dx+∫01f(x)gˊ(x)dx≥f(a)g(1)．
解析
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考研数学三

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