设f’(x)=[ψ(x)]2,其中ψ(x)在(—∞,+∞)内恒为负值,其导数ψ’(x)为单调减函数,且ψ’(x0)=0,则下列结论正确的是[ ].

admin2014-09-08  40

问题 设f’(x)=[ψ(x)]2,其中ψ(x)在(—∞,+∞)内恒为负值,其导数ψ’(x)为单调减函数,且ψ’(x0)=0,则下列结论正确的是[    ].

选项 A、y=f(x)所表示的曲线在(x0,f(x0))处有拐点
B、x=x0是y=f(x)的极大值点
C、曲线y=f(x)在(—∞,+∞)上是凹的
D、f(x0)是f(x)在(—∞,+∞)上的最大值

答案A

解析 因ψ(x)在(一∞,+∞)内恒为负值,所以f’(x0)=[ψ(x0)]2≠0,由取得极值的必要条件,x0一定不是f(x)的极值点,故不选B;又如果f(x)的最值点x0在开区间(—∞,+∞)内取得,则x0一定是极值点,由上面的分析知,x0一定不是f(x)的极值点,故不选D.
    f"(x)=2ψ(x)ψ’(x).由题设ψ’(x0)=0得,f"(x0)=2ψ(x0)ψ’(x0)=0.又因为ψ’(x)是单调递减函数,ψ(x)<0,所以,当x∈(—∞,x0)时f"(x)<0;当x∈(x0,+∞)时f"(x)>0.这表明(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.
    故选A.
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