2. 考研
  3. 设f’(x)＝[ψ(x)]2，其中ψ(x)在(—∞，＋∞)内恒为负值，其导数ψ’(x)为单调减函数，且ψ’(x0)＝0，则下列结论正确的是[ ]．

设f’(x)＝[ψ(x)]2，其中ψ(x)在(—∞，＋∞)内恒为负值，其导数ψ’(x)为单调减函数，且ψ’(x0)＝0，则下列结论正确的是[ ]．

admin2014-09-08  44
问题 设f’(x)＝[ψ(x)]2，其中ψ(x)在(—∞，＋∞)内恒为负值，其导数ψ’(x)为单调减函数，且ψ’(x0)＝0，则下列结论正确的是[    ]．
选项 A、y＝f(x)所表示的曲线在(x0，f(x0))处有拐点
B、x＝x0是y＝f(x)的极大值点
C、曲线y＝f(x)在(—∞，＋∞)上是凹的
D、f(x0)是f(x)在(—∞，＋∞)上的最大值
答案A
解析 因ψ(x)在(一∞，＋∞)内恒为负值，所以f’(x0)＝[ψ(x0)]2≠0，由取得极值的必要条件，x0一定不是f(x)的极值点，故不选B；又如果f(x)的最值点x0在开区间(—∞，＋∞)内取得，则x0一定是极值点，由上面的分析知，x0一定不是f(x)的极值点，故不选D．
    f"(x)＝2ψ(x)ψ’(x)．由题设ψ’(x0)＝0得，f"(x0)＝2ψ(x0)ψ’(x0)＝0．又因为ψ’(x)是单调递减函数，ψ(x)＜0，所以，当x∈(—∞，x0)时f"(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时f"(x)＞0．这表明(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点．
    故选A．
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