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设f’(x)=[ψ(x)]2,其中ψ(x)在(—∞,+∞)内恒为负值,其导数ψ’(x)为单调减函数,且ψ’(x0)=0,则下列结论正确的是[ ].
设f’(x)=[ψ(x)]2,其中ψ(x)在(—∞,+∞)内恒为负值,其导数ψ’(x)为单调减函数,且ψ’(x0)=0,则下列结论正确的是[ ].
admin
2014-09-08
40
问题
设f’(x)=[ψ(x)]
2
,其中ψ(x)在(—∞,+∞)内恒为负值,其导数ψ’(x)为单调减函数,且ψ’(x
0
)=0,则下列结论正确的是[ ].
选项
A、y=f(x)所表示的曲线在(x
0
,f(x
0
))处有拐点
B、x=x
0
是y=f(x)的极大值点
C、曲线y=f(x)在(—∞,+∞)上是凹的
D、f(x
0
)是f(x)在(—∞,+∞)上的最大值
答案
A
解析
因ψ(x)在(一∞,+∞)内恒为负值,所以f’(x
0
)=[ψ(x
0
)]
2
≠0,由取得极值的必要条件,x
0
一定不是f(x)的极值点,故不选B;又如果f(x)的最值点x
0
在开区间(—∞,+∞)内取得,则x
0
一定是极值点,由上面的分析知,x
0
一定不是f(x)的极值点,故不选D.
f"(x)=2ψ(x)ψ’(x).由题设ψ’(x
0
)=0得,f"(x
0
)=2ψ(x
0
)ψ’(x
0
)=0.又因为ψ’(x)是单调递减函数,ψ(x)<0,所以,当x∈(—∞,x
0
)时f"(x)<0;当x∈(x
0
,+∞)时f"(x)>0.这表明(x
0
,f(x
0
))是曲线y=f(x)的拐点.
故选A.
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